70の法則(72の法則)について説明。その導出と他の法則も併せて掲載

概要

 「70の法則」とは、元本が2倍になるような金利について、簡単に計算できる法則です。

 式としては、次のようなものになります。

  年数(年) = 70 ÷ 金利(%)

 例えば、金利が5%のときには、次のように、14年で元本が2倍になります。

  70 ÷ 5 = 14年

 なお、ここで70という数字が使われていますが、代わりに72を使って、72の法則と言われたりもします。

実際の数値との比較

 そしたら、実際にこの法則と数値がどれだけあっているのでしょうか。
 計算すると、例えば、次のような数値になります。

金利 70の法則 実際の計算値
1%
70.0年
69.7年
2%
35.0年
35.0年
3%
23.3年
23.5年
5%
14.0年
14.2年
10%
7.0年
7.3年

 必ずしも一致しているわけではありませんが、おおよそ近い数値であることが分かります。

導出方法

 なぜ、このような法則が出てくるのか、数学的に導出方法を説明します。

 元本を A 、金利を r 、年数を nn 後の元本の倍数を b とすると、

  b A = (1+r/100)^n A

が成立します。
 A はキャンセルでき、対数化すると、次式が得られます。

  \ln b = n \ln (1+r/100)

 そして、対数に関して級数展開をすると、

  \ln b = n \cdot \left[ r/100 - \dfrac{(r/100)^2}{2} + \dfrac{(r/100)^3}{3} - \dfrac{(r/100)^4}{4} + \cdots \right]

となり、r^2/2 以下の数値には非常に小さいので、省略すると、次のような近似式が得られます。

  \ln b \simeq n \cdot r/100

 そして、これを式変形すると、次式が成立します。

  n = 100 \times \dfrac{\ln b}{r} \qquad \cdots \qquad (1)

 2倍になるときには、b=2 なので、ln 2= 0.69314 から、

  n = 100 \times \dfrac{0.69314}{r} = \dfrac{69.314}{r}

となり、70に近いような数値を金利 r で割れば、n 年で2倍になることが分かります。

他の法則

 (1) 式を使えば、2倍になるような「70の法則」だけではなく、5倍になるような法則、10倍になるような法則が得られます(法則の部分について、近しい数値でもっともらしく述べています)。

倍数 \ln b 法則
1.5倍
0.40546
40の法則
2倍
0.69314
70の法則
3倍
1.09861
110の法則
5倍
1.60944
160の法則
10倍
2.30258
230の法則

 例えば、40の法則を使えば、金利が5%のときには、おおよそ8年で1.5倍になることが分かります。

まとめ

 少々数学的でしたが、いかがでしたでしょうか。

 70の法則自体、分かりやすく便利な部分もあるので、覚えておいてもいいと思います。

 また、2倍では使いずらいという方は、上記の式のもと、自分だけの法則を考えてもいいかもしれません。

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