70の法則（72の法則）について説明。その導出と他の法則も併せて掲載

　「70の法則」とは、元本が2倍になるような金利について、簡単に計算できる法則です。

　式としては、次のようなものになります。

　　年数（年）　＝　70　÷　金利（%）

　例えば、金利が5%のときには、次のように、14年で元本が2倍になります。

　　70　÷　5　=　14年

　なお、ここで70という数字が使われていますが、代わりに72を使って、72の法則と言われたりもします。

　そしたら、実際にこの法則と数値がどれだけあっているのでしょうか。
　計算すると、例えば、次のような数値になります。

　必ずしも一致しているわけではありませんが、おおよそ近い数値であることが分かります。

　なぜ、このような法則が出てくるのか、数学的に導出方法を説明します。

　元本を $A$ 、金利を $r$ 、年数を $n$ 、 $n$ 後の元本の倍数を $b$ とすると、

　　 $b A = (1+r/100)^n A$

が成立します。
　 $A$ はキャンセルでき、対数化すると、次式が得られます。

　　 $\ln b = n \ln (1+r/100)$

　そして、対数に関して級数展開をすると、

　　 $\ln b = n \cdot \left[ r/100 - \dfrac{(r/100)^2}{2} + \dfrac{(r/100)^3}{3} - \dfrac{(r/100)^4}{4} + \cdots \right]$

となり、 $r^2/2$ 以下の数値には非常に小さいので、省略すると、次のような近似式が得られます。

　　 $\ln b \simeq n \cdot r/100$

　そして、これを式変形すると、次式が成立します。

　　 $n = 100 \times \dfrac{\ln b}{r} \qquad \cdots \qquad (1)$

　2倍になるときには、 $b=2$ なので、 $ln 2= 0.69314$ から、

　　 $n = 100 \times \dfrac{0.69314}{r} = \dfrac{69.314}{r}$

となり、70に近いような数値を金利 $r$ で割れば、 $n$ 年で2倍になることが分かります。

　 $(1)$ 式を使えば、2倍になるような「70の法則」だけではなく、5倍になるような法則、10倍になるような法則が得られます（法則の部分について、近しい数値でもっともらしく述べています）。

　例えば、40の法則を使えば、金利が5%のときには、おおよそ8年で1.5倍になることが分かります。

　少々数学的でしたが、いかがでしたでしょうか。

　70の法則自体、分かりやすく便利な部分もあるので、覚えておいてもいいと思います。

　また、2倍では使いずらいという方は、上記の式のもと、自分だけの法則を考えてもいいかもしれません。